Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В направлении задачи об распостранении метода модельных поверхностей на многообразия с вырождениями, получен взвешенный аналог теоремы Блума-Грэма об эквивалентности координатного и бескоординатного определений обобщенного типа CR-многообразия. Этот подход отличается от классического тем, что в нем имеется возможность произвольно выбирать веса переменных внутри комплексной касательной, что делает эту характеристику значительно более гибкой и удобной в применении. В направлении той же задачи, а также задачи описания симметрий CR-многообразий, доказана серия утверждений о CR-многообразиях с числами Хермандера (2,3). Среди них утверждение о максимальной голоморфной симметричности модельных поверхностей, критерии конечномерности и голоморфной однородности. А также утверждения об алгебраическом строении группы голоморфных автоморфизмов модельной поверхности и ее алгебры Ли. При этом оба критерия, как конечномерности, так и голоморфной однородности демонстрируют отличие данной ситуации от изученного ранее случая вполне невырожденной поверхности. В направлении исследования ОДУ второго порядка на сфере Римана, получено дальнейшее продвижение в доказательстве гипотезы о модели сильно шунтированного Джозефсоновского контакта, которая представляет собой семейство нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на двумерном торе. Гипотеза утверждает, что для любого целого r все перемычки зоны r-й зоны захвата лежат на вертикальной прямой с абсциссой, равной частоте, умноженной на r. Доказана серия утверждений: (1) упомянутый луч действительно содержится в зоне захвата, (2) росток пересечения зоны захвата с её осью в перемычке либо содержит росток вертикальной прямой в перемычке, либо состоит из одной точки (перемычки), (3) если когда абсцисса есть целочисленное кратное частоты, то множители Стокса “в нуле” вещественны, (4) для матрицы связи между подходящими каноническими секториальными базисами в пространстве решений линейного уравнения “в нуле” и “в бесконечности” получена формула, связывающая ее элементы с множителями Стокса, и доказано, что отношение ее треугольных элементов вещественно, при условии, что абсцисса есть целочисленное кратное частоты. В направлении задачи о сходимости формальных отображений между CR-многообразиями фуксового типа, изучался вопрос сходимости формальных степенных рядов двух переменных, удовлетворяющих нелинейной пфаффовой системе мероморфных уравнений в частных производных - системе Жерара-Сибуйи. В четырех различных предположениях относительно правых частей системы была доказана сходимость формального решения в окрестности начала координат.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Для класса CR-многообразий с жесткой модельной поверхностью получена следующая серия результатов : доказано, что локальное возмущение слагаемыми старшего веса не приводит к росту размерности стабилизатора точки; доказано, что конечномерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов равносильна ее конечноградуированности (полиномиальности); дан конструктивный критерий конечномерности алгебры автоморфизмов; доказано, что критерием голоморфной однородности модельной поверхности является постоянство Блум-Грэм-типа точки; показано, что однородная модельная поверхность CR-эквивалентна подгруппе треугольно полиномиальных автоморфизмов в своей группе автоморфизмов, доказана бирациональность группы автоморфизмов модельной поверхности с условием равномерной оценки степени. Полученные результаты определили направление дальнейшей работы и позволили сформулировать серию гипотез. Нами совместно с членами австрийской группы было доказано, что всякое гладкое CR-отображение между двумя гладкими невырожденными (конечный тип 2 по Блуму-Грэму плюс невырожденность по Леви) CR-многообразиями коразмерности k в C^n полностью определяется своей 2-струей в точке. Это обобщает многочисленные более ранние результаты (Туманов, Мейлан, Бертранд, и др.) в данном направлении достигнутые в помощью метода стационарных дисков. В данной же работе был использован описанный в проекте метод ассоциированных дифференциальных уравнений для получения полной системы в частных производных 3-го порядка на компоненты отображения, что и дает полное определение отображения своей 2-струей. Работа находится в стадии завершения и скоро будет доступна на ресурсе arxiv.org Найдены качественные отличия CR-геометрии комплексного гильбертова пространства от конечномерной ситуации. А именно, показано, что любые два вполне невырожденных CR-многообразия конечной CR-размерности и бесконечной коразмерности формально эквивалентны, причем размерность подалгебры g_{+} его алгебры Ли g инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов бесконечна. Приведены примеры таких многообразий без условия полной невырожденности с алгебрами g_{+} любой наперед заданной конечной размерности. Как для уникального вполне невырожденного многообразия так и построенных примеров многообразий с конечной размерностью алгебры g_{+} построены  системы дифференциальных уравнений второго порядка, графиками решений которой являются их многообразия Сегре. Получено доказательство локальной теоремы реализации данных монодромии для системы разностных уравнений Y(z+1)=A(z)Y(z) в окрестности точки бесконечность с помощью интегрирования почти комплексной структуры. Получена реализация метода редукции Мозера снижения ранга особой точки вплоть до минимального для разностной системы с мероморфной матрицей коэффициентов в окрестности бесконечности. Тем самым развита схема, построенная М. Баркату для регулярных разностных систем. Кроме этого проведено исследования графа решений для алгебраического уравнения Маркова. В частности получены нижняя оценка величины минимальной связной компоненты графа Маркова и нижняя оценка величины его максимальной связной компоненты. Этот результат усиливает оценки полученные в 2016 году Ж. Бургейном, А. Гамбурдом и П. Сарнаком для этих же компонент связности. Была исследована математическая модель сильно шунтированного перехода Джозефсона. Эта модель имеет две реализации. Первая — это трёхпараметрическое семейство дифференциальных уравнений на двумерном торе. Один из параметров, называемый частотой, фиксирован, а два другие, обозначаемые (В,А) – переменные параметры. Вторая - трёхпараметрическое семейство специальных уравнений второго порядка на сфере Римана с двумя иррегулярными особыми точками, в нуле и в бесконечности, зависящее от трёх параметров (l,\lambda,\mu), выражающихся явно через три параметра первой реализации. Для исследования геометрии зон фазового захвата разработаны новые методы, связанные с исследованием комплексифицированных границ зон захвата. А именно, в семействе уравнений Гойна (вторая реализация) осуществлен переход к рассмотрению комплексных значений параметров. Cемейство комплексифицированных границ представляет собой счётный набор аналитических поверхностей в вещественном трёхмерном пространстве. Получен следующий неожиданный результат: комплексификация семейства границ, т.е., минимальное комплексное аналитическое множество, содержащее упомянутый счетный набор поверхностей, двумерно и состоит из всего лишь четырех неприводимых компонент. Было рассмотрено поведение семейства портретов зон захвата на плоскости при убывающей частоте. При этом были обнаружены интересные геометрические феномены.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
- Аналитическому определению конечности типа по Блуму-Грэму (остутствие нулей в стадартном виде) была дана голоморфно инвариантная форма (отсутствие линейных зависимостей в приведенном виде). - Доказано (техника гомологического оператора Пуанкаре-Дюлака), что размерность (число параметров) семейства голоморфных отображений ростка невырожденного CR-многообразия в другой такой росток не превосходит размерности алгебры Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов модельной поверхности, которая, в этом случае, является конечномерной градуированной алгеброй Ли. - Этот результат, вместе с результатом, полученным в работе Я.Грегоровича (австрийский коллектив), позволяет для широкого класса ростков CR-многообразий M_p получить представление группы автоморфизмов ростка в алгебраической подгруппе, действующей на комплексной касательной модельной поверхности Q. - Дан конструктивный критерий конечномерности алгебры модельной поверхности Q. Обнаружено и описано новое явление - стратификации Q по стратам постоянного Блум-Грэм типа и доказана полуалгебраичность стратов. - Доказано, что постоянство Блум-Грэм типа на Q является критерием её голоморфной однородности. Также доказано, что набор весов для типа однородной поверхности — это набор подряд идущих натуральных чисел (2,3,...,m). Алгебра и группа автоморфизмов невырожденной модельной поверхности Q были изучены с геометрической, аналитической и алгебраической точек зрения. - Было доказано, что гомотопический тип группы автоморфизмов невырожденной модельной поверхности совпадает с гомотопическим типом подгруппы квазилинейных элементов стабилизатора нуля. - Было доказано, что группа автоморфизмов однородной невырожденной модельной поверхности — это подгруппа группы бирациональных преобразований объемлющего пространства равномерно ограниченной степени и была дана оценка степени через размерность пространства. Также было показано, что нарушение как невырожденности, так и однородности делает утверждение неверным. - Было дано явное описание подалгебры g_{-} и показано, что порожденная ею подгруппа G_{-} совпадает с явно описанной группой Ли Г_{-} полиномиально-треугольных автоморфизмов, а также доказано, что Г_{-} и Q эквивалентны как CR-многообразия. - Также явно описаны алгебра g_{0} элементов нулевого веса и явно описаны соответствующие подгруппы G_{0} и Г_{0}, показана их алгебраичность. - Доказано также, что G_{+}=Г_{+}$ и что эта подгруппа диффеоморфна линейному пространству. - Показано, что модельная поверхность ростка голоморфно однородного CR-многообразия также голоморфно однородна. - Для типа по Блуму-Грэму ростка голоморфно однородного CR-многообразия получены ограничения на кратности. - Получен критерий конечномерности алгебр инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов многообразия равномерно бесконечного типа. - Доказано, что, если у пары коммутирующих разностных операторов существуют собственные функции и аннулирующая их комплексная алгебраическая кривая с постоянными комплексными коэффициентами, то эти операторы имеют общую собственную функцию, определённую на этой кривой. Также построено некоторое условие на оператор, достаточное для того, чтобы он имел полный набор собственных функций. - Удалось построить мероморфное калибровочное преобразование u(z)=M'(z)y(z), переводящее систему разностных уравнений y(z+h)=B(z)y(z) к виду, эквивалентному скалярному уравнению. - Было показано, что матрица M'(z) преобразования сходится в некоторой окрестности точки бесконечность, таким образом, в отличие от дифференциального случая, получаемое скалярное уравнение определено лишь в некоторой окрестности бесконечности. Область сходимости преобразования может быть расширена, если выбрать достаточно малый сдвиг h. - Доказана формула, вычисляющая дисперсию асимптотического инварианта Хопфа магнитного поля, а также приведены примеры, описывающие магнитные поля в проводящей среде. - Исследовано семейство динамических систем на торе, моделирующее сильно шунтированный Джозефсоновский переход в сверхпроводимости. Исследуется число вращения как функция от параметров семейства: двух переменных параметров В (абсциссы) и А (ординаты) и фиксированной частоты. Зоны захвата существуют только для целых чисел вращения, как показали В.М.Бухштабер, О.В.Карпов и С.И.Тертычный в их совместной работе. - Известно, что каждая зона захвата – это бесконечная гирлянда из областей, уходящих на бесконечность в асимптотически вертикальном направлении и разделенных точками, называемыми перемычками (за исключением точек раздела, лежащих на оси абсцисс). Исследовано множество параметров, отвечающих перемычкам. - Доказана гипотеза о квантовании перемычек, утверждающая, что при любом значении частоты в каждой индивидуальной зоне фазового захвата все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой, равной числу вращения, умноженному на частоту. Это – подтверждение экспериментального факта, открытого в численных экспериментах С.И.Тертычного, В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова (2011 г.). - Доказана гипотеза, утверждающая, что каждая перемычка положительна: это означает, что ее проколотая окрестность на вертикальной прямой лежит внутри зоны фазового захвата. Доказательства основаны на новых разработанных методах исследования модели Джозефсоновского перехода, использующих изомонодромные деформации линейных систем на сфере Римана, уравнения Пенлеве 3 и методы теории быстро-медленных систем. Bibilo, Y.; Glutsyuk, A.A. On families of constrictions in model of overdamped Josephson junction and Painlevé 3 equation. – Preprint https://arxiv.org/abs/2011.07839 Buchstaber, V. M., Bibilo, Yu. P., Glutsyuk, A. A.,Tertychnyi, S. I. Dynamical systems on 2-torus, model of Josephson junction and isomonodromic families of linear systems. Second International Conference on Integrable Systems & Nonlinear Dynamics (Yaroslavl, 19—23 October, 2020). Book of Abstracts, pp. 16—18. https://lomonosov-msu.ru/file/event/6054/eid6054_attach_9bc6d41fe4caa424589bc7d6d5529e53fbcc87a7.pdf Видеозапись доклада А.А.Глуцюка о совместной работе с Ю.П.Бибило: https://www.youtube.com/watch?v=ZBbF-7RJlxo&feature=youtu.be