Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Получены новые теоремы о связи равномерной и обыкновенной диофантовых экспонент. Работа по теме подана в журнал Acta Arithmetica. 2. Доказаны теоремы существования для совместно сингулярных векторов на многообразиях. 3. Получены обобщения примера Пуанкаре о неограниченности некоторых тригонометрических рядов. 4. Получены новые результаты о неоднородных диофантовых приближениях и новые количественные варианты аппроксимационной теоремы Кронекера. 5. Получены результаты о сингулярном поведении функций мер иррациональности в задачах о совместных приближениях нескольких вещественных чисел. 6. Получено новое доказательство тождества Ландсберга–Шаара, играющего важную роль в теории тета-функций. Доказательство полностью элементарно и основано на использовании дискретного преобразования Фурье. В доказательстве не требуется вычисление сумм Гаусса общего вида и индукции по степеням простых чисел, входящих в разложение на множители основного параметра n. Результат опубликован в статье А. В. Устинов "Короткое доказательство тождества Ландсберга–Шаара" Матем. заметки, 2022, том 112, выпуск 3, страницы 478–480. https://doi.org/10.4213/mzm13535 7. М. Б. Скопенков и А. В. Устинов видоизменили "шашки Фейнмана" (также известные как "квантовые блуждания") так, чтобы в непрерывном пределе они воспроизводили уже пропагатор Фейнмана из квантовой теории поля, учитывающий процессы рождения и аннигиляции электрон-позитронных пар. Эта модификация основана на идеях дискретного комплексного анализа. Результат выложен на сервере препринтов https://arxiv.org/abs/2208.14247, подан в журнал и в настоящий момент находится на рецензии. 8. О.Н. Германом и Н.Г. Мощевитиным доказано фундаментальное утверждение локального характера в задаче совместных приближений n чисел рациональными и задаче приближения нуля значениями в целых точках соответствующей линейной формы – так называемая лемма о пустом цилиндре. Данное утверждение позволило получить простое доказательство неравенств переноса Шмидта и Зуммерера, показать, что из неравенств Германа для равномерных экспонент и неравенств Шмидта и Зуммерера следуют неравенства Бюжо и Лорана, а также «половина» неравенств Марна и Мощевитина. Кроме того, лемма о пустом цилиндре позволила получить новое, весьма простое, доказательство критерия Нестеренко линейной независимости. Результат опубликован в статье O.N. German, N.G. Moshchevitin. On the transference principle and Nesterenko's linear independence criterion. Изв. РАН, Сер. матем., принято к публикации. 9. А.А. Илларионовым получено описание пар последовательностей комплексных чисел, которые удовлетворяют рекуррентным уравнениям билинейного типа. Указанные последовательности являются обобщением хорошо известных эллиптических делимостных последовательностей. Полученные результаты использованы для решения одного функционального уравнения из теории полилинейных функционально-дифференциальных уравнений. 10. Получен ряд многомерных результатов о диофантовых приближениях p-адических чисел, такие, как теорема о приближениях решёток p-адических чисел или многомерная версия теоремы Палмера о диагональных p-адических приближениях. 11. Построен пример двух p-адических чисел, для которых одна функция меры иррациональности строго больше другой, что показывает, что в p-адическом случае неверен результат Мощевитина и Кана об осциляции. 12. Доказана оптимальность примера Кана в локальной задаче об отклонении от критического значения среднего арифметического неполных частных иррационального числа, производная функции Минковского для которого равна нулю. 13. Получена новая оценка в равномерной задаче об отклонении от критического значения среднего арифметического неполных частных иррационального числа, производная функции Минковского для которого равна нулю и построен пример, показывающий неулучшаемость данной оценки. 14. Получено новое, более простое доказательство результата о том что любой левый конец пропуска в спектре Лагранжа представим в виде суммы двух квадратичных иррациональностей 15. Получено аналитическое выражение для волновой функции электрона, движущегося в однородном магнитном поле, для дискретной модели (шашки Фейнмана, связанные с решеточной калибровочной теорией) в терминах гипергеометрических функций. Так же был найден непрерывный предел модели при малом шаге решетки. Результат выложен на сервере препринтов, https://arxiv.org/abs/2209.00938 16. Получены явные формулы для значений бинарных квадратичных форм, имеющих аномально малое число нулей в двоичной записи.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Получен ряд результатов в метрической теории диофантовых приближений. Доказано, что если некая фиксированная последовательность x_1,...,x_n, ... точек единичного гиперкуба хорошо распределена, то она приближает почти каждую точку единичного гиперкуба со скоростью o(1/n). Из этого результата получено простое альтернативное доказательство теоремы Д.Х. Кима о неоднородных приближениях в одномерном случае, а также недавней теоремы У. Шапиры о неоднородных приближениях с несингулянрыми векторами. Также получен контрпример к гипотезе Шапиры о несингулярных векторах в аффинных подпространствах и неоднородных приближениях. На эту тему опубликована одна работа и еще одна статья готовится к печати. Получен ряд результатов о поведении различных функций мер иррациональности как в одномерном случае (проведение функции для одного числа и взаимное поведение нескольких функций) так и для многомерных задач. Также в 2023 году исследовались задачи, связанные с распределение последовательности Кронекера и условно-периодическими функциями. Продолжается работа над анализом возможных значений равномерной и обыкновенной диофантовых экспонент в многомерных задачах. Отметим, что статья о неравенствах для этих экспонент для совместных приближений трех чисел подана в журнал и все еще находится на рассмотрении. Но в отчетный период удалось применить результат об оценке обыкновенной экспоненты через равномерную для линейных форм в задаче о гладкости примера Пуанкаре осциллирующего тригонометрического ряда. В этом направлении удалось получить обобщение недавней теоремы А. Кочергина (2023), доказать теорему об отсутствии универсальной непрерывной функции с этом примере, получить ряд теорема суммах непрерывной функций вдоль последовательности Кронекера (здесь следует отметить, что этот результат интересным образом дополняет совсем недавнюю метрическую теорема Л. Кольцани (2023). Кроме того, усилен результат С. Конягина о невозвращаемости интеграла (суммы вдоль последовательности Кронекера). Статья на эту тему подана в журнал Monatshefte für Mathematik. Целью исследования являлось обобщение построенной ранее элементарной модели, описывающей создание, аннигиляцию и движение электронов и позитронов вдоль прямой, добавляющее в нее второй тип частиц (мюонов) и взаимодействие, аналогичное модели Ферми. Были исследованы аналитические и комбинаторные свойства новой модели, в частности, вычислены начальные члены ряда теории возмущений. Это продолжает тематику исследований, связанную с применением методов аналитической теории чисел к решеточным моделям квантовой теории поля. В рамках работ по проекту мы занимались также мультипликативными задачами теории диофантовых приближений. А именно, мы изучали спектры различных вариантов равномерных мультипликативных диофантовых экспонент и равномерных диофантовых экспонент решёток. Нам удалось доказать теорему о тривиальности спектра сильных равномерных диофантовых экспонент решёток и показать, что спектр слабых равномерных диофантовых экспонент решёток нетривиален. Получены критерии целочисленности последовательностей частных специального вида с помощью теорем о пределах последовательностях линейных форм, а также уже известных обобщений классической теоремы Пизо. В частности, при некоторых дополнительных ограничениях данный результат является критерием того, что целое алгебраическое число является числом Пизо. Исследована структура дискретной части второго спектра Лагранжа. Вычислена точка накопления дискретной части и показано, что она тоже лежит в данном множестве. Кроме того, показано, что для дискретной части имеется биекция между значением в спектре и соответствующей цепной дробью с точностью до естественной эквивалентности. Результаты о значениях квадратичных форм, имеющих аномально большую долю единиц в двоичной записи, обобщены на некоторые классы кубических форм от трёх переменных и некоторые примеры для более высоких степеней. Например, при помощи тождеств для многочленов деления круга, аналогичных классическому тождеству Гаусса, удается получить сходные формулы для кубической формы X^3+Y^3+Z^3-YX^2+5ZX^2-2Y^2X-XYZ+6Z^2X-ZY^2-2Z^2X, которая раскладывается на линейные множители над Q(cos(2*Pi/7)). Получена конструкция для многих последовательных степеней двойки таких, что ближайшее снизу к ним число, представимое в виде суммы двух квадратов, находится от них далеко. Данный результат аналогичен конструкции Ричардса для длинных промежутков между значениями квадратичных форм.