Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Наш проект направлен на изучение аффинных пространств и, более общо, аффинных алгебраических многообразий. Для изучения этих объектов мы рассматриваем алгебру регулярных функций на многообразии и изучаем её с помощью рассмотрения автоморфизмов алгебры, в частности, алгебраических подгрупп в группе автоморфизмов. Важным техническим инструментом являются инфинитезимальные версии унипотентных автоморфизмов – локально нильпотентные дифференцирования алгебры регулярных функций. Получено комбинаторное описание инварианта Макар-Лиманова и модифицированного инварианта Макар-Лиманова для не обязательно нормальных торических многообразий в терминах соответствующих аффинных конусов (https://arxiv.org/abs/2212.06446). Доказано, что классический инвариант Макар-Лиманова совпадает с модифицированным инвариантом Макар-Лиманова для торических многообразий (https://arxiv.org/abs/2212.06446) и в произвольном случае (https://arxiv.org/abs/2212.05899). Доказана сформулированная ранее гипотеза Авдеева и Аржанцева о том, что для аффинного сферического многообразия X всякий G-инвариантный простой дивизор на X можно соединить с открытой G-орбитой при помощи действия подходящей B-корневой подгруппы, где G – связная редуктивная группа, B – её борелевская подгруппа (https://doi.org/10.1134/S1064562422020053, https://arxiv.org/abs/2112.14268). В общем случае задача полного описания B-корневых подгрупп на всём многообразии X сведена к их описанию на "открытой клетке" (решена полностью) и вопросу продолжаемости B-корневых подгрупп с открытой клетки на всё X (получены оценки на порядки "полюсов" B-корневой подгруппы вдоль простых дивизоров из дополнения к открытой клетке). Введена итерационная конструкция, позволяющая построить все локально нильпотентные дифференцирования ранга 2 алгебры многочленов от трёх переменных над полем, найдены новые примеры нетриангулируемых локально нильпотентных дифференцирований ранга 2, построены новые примеры локально нильпотентных дифференцирований ранга 3. Построены системы порождающих группы градуированных автоморфизмов алгебры многочленов от трёх переменных (http://mi.mathnet.ru/mz13601, https://arxiv.org/abs/2211.03249). Доказано, что группа автоморфизмов нормальной аффинной алгебраической поверхности имеет алгебраическую связную компоненту тогда и только тогда, когда она не содержит унипотентных элементов (соответственно, поверхность не допускает аддитивных действий); более того, в таком случае связная компонента является алгебраическим тором размерности не более 2; полностью изучен вопрос единственности минимальной комбинаторной модели для пополнений аффинных поверхностей без аддитивных действий (https://arxiv.org/abs/2208.09738). В рамках исследования исчерпаемых и унипотентных подгрупп групп автоморфизмов получено обобщение понятия подгруппы де Жонкье и исследованы его свойства. Получено явное описание максимальной унипотентной подгруппы группы автоморфизмов Aut(X) в терминах комбинаторики конуса аффинного торического многообразия X; описан алгоритм, позволяющий перечислить все унипотентные подгруппы Aut(X), которые действуют на X с открытой орбитой и нормализуются тором T; сконструированы графы, позволяющие вычислять нижний и верхний центральные ряды таких подгрупп; показано, что любая такая подгруппа действует на своей открытой орбите в X с нетривиальными стабилизаторами, и что это неверно, если отбросить условие нормализуемости тором (https://arxiv.org/abs/2209.04021). Доказано, что любое невырожденное торическое многообразие, любое однородное пространство связной линейной алгебраической группы без непостоянных обратимых регулярных функций и любое многообразие, покрытое аффинными пространствами, допускает сюръективный морфизм из аффинного пространства (https://arxiv.org/abs/2209.08607). Исследованы разрешимые моноиды коранга 1 и получена классификация разрешимых моноидов коранга 1 на трёхмерном аффинном пространстве. При поддержке гранта в первый год работ по проекту приняты в печать две статьи и подготовлено 5 препринтов. [1] Ivan Arzhantsev and Mikhail Zaidenberg. Tits-type alternative for certain groups acting on algebraic surfaces. https://arxiv.org/abs/2111.06659, 16 pages. DOI: 10.1090/proc/16324. Принято в Proceedings of the American Mathematical Society [2] Anton Trushin. Graded automorphisms of the algebra of polynomials in three variables. https://arxiv.org/abs/2211.03249, 6 pages. Принято в Математические заметки [3] Ivan Arzhantsev. On images of affine spaces. https://arxiv.org/abs/2209.08607, 7 pages [4] Ivan Arzhantsev, Alexander Perepechko, and Kirill Shakhmatov. Radiant toric varieties and unipotent group actions. https://arxiv.org/abs/2209.04021, 24 pages [3] Ilya Boldyrev. Makar-Limanov invariants of nonnormal affine toric varieties. https://arxiv.org/abs/2212.06446, 13 pages [5] Sergey Gaifullin and Anton Shafarevich. Modified Makar-Limanov and Derksen invariants. https://arxiv.org/abs/2212.05899, 8 pages [6] Alexander Perepechko and Mikhail Zaidenberg. Automorphism groups of rigid affine surfaces: the identity component. https://arxiv.org/abs/2208.09738, 30 pages Результаты были доложены на различных всероссийских и международных конференциях. И.В.Аржанцев. Вторая конференция Математических центров России, МГУ, МИАН, Москва, 7 ноября 2022 г., приглашенный доклад “Лучезарные торические многообразия и действия унипотентных групп”. И.В.Аржанцев. Международная конференция “Algebraic Groups, their Friends and Relations”, посвященная 70-летию Н.А.Вавилова, ПОМИ РАН, Санкт-Петербург, 21 сентября 2022 г., приглашенный доклад “Tits-Type Alternative for Automorphism Groups”. Р.С.Авдеев. Конференция “Algebraic groups: the White Nights season II”, международный институт им. Л.Эйлера, Санкт-Петербург, 8 июля 2022 г., доклад “Existence results for B-root subgroups on affine spherical varieties”. С.А.Гайфуллин. Вторая конференция Математических центров России, МГУ, МИАН, Москва, 7 ноября 2022 г., приглашенный доклад “Локально нильпотентные дифференцирования алгебры многочленов от трёх переменных”. А.Н.Трушин. Конференция “Algebraic groups: the White Nights season II”, международный институт им. Л.Эйлера, Санкт-Петербург, 7 июля 2022 г., доклад “A generating set of the automorphism group of a graded algebra”. К.В.Шахматов. Spring School “Invariants in Algebraic Geometry”, Institut de Mathématiques de Bourgogne, Дижон, Франция, 17 мая 2022 г., доклад “Unipotent group actions on complete toric varieties”. Также продвижения в исследованиях по гранту регулярно докладываются на семинаре лаборатории алгебраических групп преобразований НИУ ВШЭ (cs.hse.ru/latg/seminar): Р.С.Авдеев, доклад “ Existence results for B-root subgroups on affine spherical varieties”, 04.02.2022 А.Н.Трушин, доклад “Wild automorphisms of graded algebras”, 11.05.2022 С.А.Гайфуллин, доклад “Модифицированные инварианты Макар-Лиманова и Дерксена”, 28.09.2022 А.Ю.Перепечко, доклад “Структура исчерпаемых групп автоморфизмов”, 02.11.2022 А.Ю.Перепечко, миникурс "Граничные дивизоры, пополнения", внутренняя школа лаборатории алгебраических групп преобразований НИУ ВШЭ, Московская область, 1-5 августа 2022

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Опубликована работа об образах аффинного пространства (https://arxiv.org/abs/2209.08607, https://doi.org/10.1016/j.indag.2023.03.001), в которой доказано, что невырожденные торические многообразия, однородные пространства связных линейных алгебраических групп без непостоянных обратимых регулярных функций, многообразия, покрытые аффинными пространствами, и очень гибкие многообразия являются А-образами, то есть образами аффинного пространства при некотором регулярном морфизме. В препринте (Ivan Arzhantsev, Shulim Kaliman, and Mikhail Zaidenberg. Varieties covered by affine spaces, uniformly rational varieties and their cones. To appear in Advances in Mathematics, https://arxiv.org/abs/2304.08608, 13 pages) доказано, что полное комплексное алгебраическое многообразие является образом аффинного пространства тогда и только тогда, когда оно унирационально. В продолжение работы (Sergey Gaifullin and Anton Shafarevich. Modified Makar-Limanov and Derksen invariants. https://arxiv.org/abs/2212.05899, 8 pages) в препринте (Ilya Boldyrev, Sergey Gaifullin, and Anton Shafarevich. Modified Derksen invariant. https://arxiv.org/submit/5293472, 12 pages) исследуется модифицированный инвариант Дерксена. Доказано, что если на аффинном многообразии, в котором аффинная прямая выделяется прямым множителем, есть ЛНД со слайсом, то выполнено одно из следующих условий: 1) модифицированный инвариант Дерксена совпадает с алгеброй регулярных функций; 2) модифицированный инвариант Дерксена – не конечно порожденная подалгебра в алгебре регулярных функций; 3) многообразие является прямым произведением прямой и жёсткого многообразия, и модифицированный инвариант Дерксена совпадает с алгеброй регулярных функций этого жёсткого многообразия. Доказано, что если на втором прямом множителе нет точек, неподвижных относительно всех действий аддитивной группы поля, то выполнено условие 1); если на втором прямом множителе есть ЛНД со слайсом, то также выполнено условие 1). Доказано, что если второй прямой множитель – торическое многообразие, на котором нет ЛНД со слайсом, то выполнено 2). Далее, доказано, что если в нём есть подмногообразие, цилиндр над которым инвариантен относительно всех действий аддитивной группы поля, при том что на самом подмногообразии нет ненулевых ЛНД, то также выполнено 2). В работе (Roman Avdeev and Vladimir Zhgoon. On B-root subgroups on horospherical varieties, https://arxiv.org/abs/2312.03377, 13 pages) полностью решена задача описания всех B-корневых подгрупп на открытой клетке: для орисферических многообразий распространена на общий случай конструкция "стандартных" B-корневых подгрупп, предложенная ранее в работе Авдеева-Аржанцева для аффинных орисферических многообразий; полностью исследован вопрос о том, когда стандартная B-корневая подгруппа данного веса существует и какие G-орбиты рассматриваемого орисферического многообразия соединяет; в ситуации, когда орисферическое G-многообразие X либо полно, либо имеет ровно одну замкнутую G-орбиту, c помощью стандартных B-корневых подгрупп удалось определить все G-инвариантные простые дивизоры на X, которые можно соединить с открытой G-орбитой при помощи действия B-корневых подгрупп. Помимо этого описаны все B-корневые подгруппы на всех аффинных сферических G-многообразиях (не обязательно орисферических) в случае, когда группа G является прямым произведением группы SL(2) и тора. Выложен препринт (Nikhilesh Dasgupta and Sergey Gaifullin. On locally nilpotent derivations of polynomial algebra in three variables, https://arxiv.org/pdf/2306.00510.pdf, 28 pages). Помимо результатов предыдущего отчётного периода в нём получено достаточное условие того, что ЛНД алгебры многочленов от трёх переменных над полем, полученное с помощью конструкции локального слайса, имеет ранг 3. А.Н.Трушиным описана группа автоморфизмов жёстких гиперповерхностей с разделяющимися переменными. В рамках исследования исчерпаемых и унипотентных подгрупп групп автоморфизмов в препринте (Alexander Perepechko. Structure of connected nested automorphism groups. https://arxiv.org/abs/2312.08359, 9 pages) был представлен класс унипотентных подгрупп, обобщающих унипотентный радикал подгруппы де Жонкье для произвольного аффинного многообразия, и изучены их свойства – это связные замкнутые разрешимые подгруппы в группе автоморфизмов, состоящие из унипотентных элементов и описываемые наборами ЛНД; выдвинута гипотеза, что любая связная унипотентная подгруппа в группе автоморфизмов содержится в подобной подгруппе; в качестве следствия данной гипотезы показана замкнутость связных исчерпаемых подгрупп в группах автоморфизмов аффинного многообразия. В препринте (Viktoria Borovik and Sergey Gaifullin. Isolated torus invariants and automorphism groups of rigid varieties. https://arxiv.org/abs/2007.07882, 17 pages) доказано, что связная компонента группы автоморфизмов нормального неприводимого рационального многообразия с действием тора сложности 1, без обратимых функций и с конечно порождённой группой классов дивизоров является тором. В препринте (Yulia Zaitseva. Affine monoids of corank one. http://arxiv.org/abs/2312.08316, 15 pages) дана классификация не обязательно коммутативных моноидов коранга один на произвольных аффинных многообразиях, в том числе на аффинных пространствах, и описано множество идемпотентов таких моноидов. При поддержке гранта за первые два года работ по проекту три статьи опубликованы, одна принята в печать, и подготовлено 10 препринтов. По соответствующим научным результатам было сделано 29 докладов на всероссийских и международных конференциях. [1] Ivan Arzhantsev and Mikhail Zaidenberg. Tits-type alternative for certain groups acting on algebraic surfaces. Proceedings of the American Mathematical Society 151 (2023), no. 7, 2813-2829. https://arxiv.org/abs/2111.06659, https://doi.org/10.1090/proc/16324 [2] А.Н.Трушин. Градуированные автоморфизмы алгебры многочленов от трех переменных. Математические заметки, 113:5 (2023), 780-784. https://arxiv.org/abs/2211.03249, https://doi.org/10.4213/mzm13601 [3] Ivan Arzhantsev. On images of affine spaces. Indagationes Mathematicae 34 (2023), no. 4, 812-819. https://arxiv.org/abs/2209.08607, https://doi.org/10.1016/j.indag.2023.03.001 [4] Ivan Arzhantsev, Shulim Kaliman, and Mikhail Zaidenberg. Varieties covered by affine spaces, uniformly rational varieties and their cones. To appear in Advances Mathematics, https://arxiv.org/abs/2304.08608, 13 pages [5] Roman Avdeev and Vladimir Zhgoon. On B-root subgroups on horospherical varieties, https://arxiv.org/abs/2312.03377, 13 pages [6] Ivan Arzhantsev, Alexander Perepechko, and Kirill Shakhmatov. Radiant toric varieties and unipotent group actions. https://arxiv.org/abs/2209.04021, 24 pages [7] Ilya Boldyrev. Makar-Limanov invariants of nonnormal affine toric varieties. https://arxiv.org/abs/2212.06446, 13 pages [8] Ilya Boldyrev, Sergey Gaifullin, and Anton Shafarevich. Modified Derksen invariant. https://arxiv.org/submit/5293472, 12 pages [9] Viktoria Borovik and Sergey Gaifullin. Isolated torus invariants and automorphism groups of rigid varieties. https://arxiv.org/abs/2007.07882, 17 pages [10] Nikhilesh Dasgupta and Sergey Gaifullin. On locally nilpotent derivations of polynomial algebra in three variables, https://arxiv.org/pdf/2306.00510.pdf, 28 pages [11] Sergey Gaifullin and Anton Shafarevich. Modified Makar-Limanov and Derksen invariants. https://arxiv.org/abs/2212.05899, 8 pages [12] Alexander Perepechko and Mikhail Zaidenberg. Automorphism groups of rigid affine surfaces: the identity component. https://arxiv.org/abs/2208.09738, 30 pages [13] Alexander Perepechko. Structure of connected nested automorphism groups. https://arxiv.org/abs/2312.08359, 9 pages [14] Yulia Zaitseva. Affine monoids of corank one. http://arxiv.org/abs/2312.08316, 15 pages