КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 21-71-00119

НазваниеАдаптивные тензорные методы для дифференциальных уравнений в частных производных

РуководительРахуба Максим Владимирович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2021 - 06.2023 

Конкурс№60 - Конкурс 2021 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-206 - Вычислительная математика

Ключевые словатензорные разложения, уравнения в частных производных, уравнение Гросса-Питаевского, итерационные методы, риманова оптимизация, предобуславливание, теплицевы матрицы, циркулянтные матрицы

Код ГРНТИ27.41.15

СтатусУспешно завершен

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Дифференциальные уравнения в частных производных позволяют с высокой точностью моделировать сложные явления в науке и технике. При этом, если решение дифференциальных уравнений имеет некоторые особенности, например, точечные сингулярности, пограничные слои или сильно осциллирующие компоненты, то в таком случае для дискретизации задачи необходимо использовать очень мелкие сетки, что приводит к значительным вычислительным затратам. Существуют специальные методы, которые позволяют учитывают особенности решения в каждом конкретном случае для получения оптимальной дискретизации. Однако такие подходы обычно оказываются сложными в реализации и требовательными для конечного пользователя, который должен иметь как представление о самом методе, так и об аналитических свойствах решения задачи. В предлагаемом проекте рассматривается альтернативный подход, в котором число эффективных степеней свободы для построения решения адаптируется к требуемой точности и особенностям задачи с помощью стандартных алгебраических процедур, таких как сингулярное разложение. Он базируется на современном методе тензорных разложений, которые позволяют приблизить числовые массивы в малопараметрическом виде. В контексте дифференциальных уравнений идея подхода заключается в следующем. Задача дискретизируется на достаточно мелкой сетке, чтобы описать все особенности решения с требуемой точностью. При этом, решение сразу ищется в сжатом тензорном представлении и никогда не формируется в виде полного массива. Для ряда интересных на практике задач доказано экспоненциально быстрое убывание ошибки относительно эффективного числа степеней свободы в тензорном разложении приближенного решения. Однако задача создания надежных и эффективных алгоритмов поиска решений в тензорных форматах для мелких сеток и высоких точностей все еще является открытой. Таким образом, настоящий проект нацелен на создание устойчивых к ошибкам округлений и одновременно эффективных тензорных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, в проекте предлагается рассмотреть краевые задачи для уравнения второго порядка типа реакции-диффузии, а также задачи на собственные значения на примере уравнения Гросса-Питаевского.

Ожидаемые результаты
Будут разработаны адаптивные тензорные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, превосходящие по своей эффективности мировой уровень. В частности, будут разработаны: 1.Устойчивые тензорные методы для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка типа реакции-диффузии на основе методов оптимизации на римановых многообразиях. 2. Для построения эффективного предобуславливания будет разработан тензорный метод решения экранированного уравнения Пуассона с использованием быстрого обращения структурированных матриц. 3.На основе первых двух пунктов будет разработан метод решения уравнения Гросса-Питаевского, являющегося нелинейной задачей на собственные значения с дифференциальным оператором. Будут рассмотрены случаи осциллирующих потенциалов и потенциалов с точечными сингулярностями, для которых ожидается высокая эффективность предлагаемого метода. Для каждого из предлагаемых методов будет написан программный код, который будет выложен в открытый доступ. Разработанные методы и программный код могут быть полезны для широкого круга пользователей, которым требуется решать дифференциальные уравнения в частных производных.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В исследования последних лет появляется все больше теоретических работ, обосновывающих способность тензорных разложений приближать решения уравнений в частных производных с особенностями (например, при наличии осцилляций или сингулярностей у решений). Однако поиск этих решений остается нетривиальной задачей из-за сильной зависимости методов от ранга тензорных разложений, а также из-за возникающей численной неустойчивости. Проект направлен на преодоления этих проблем. В частности, за первый год работы над проектом получены следующие результаты: 1) Получены оценки тензорных рангов (разложения квантизованного тензорного поезда) для матриц, обратных к циркулянтным матрицам. Также для обратных к циркулянтным матрицам, возникающим при дискретизации периодических краевых задач, получены явные устойчивые формулы их тензорного представления. 2) На основании результатов из предыдущего пункта и метода расщепления разработан эффективный тензорный солвер для решения экранированного уравнения Пуассона с периодическими краевыми условиями. Программную реализацию солвера можно найти по ссылке: https://bitbucket.org/rakhuba/qttcirc 3) Для уравнений типа реакции-диффузии и уравнения Гросса-Питаевского предложены новые итерационные процессы, учитывающие структуру многообразия многомерных массивов фиксированного ранга. Получены предварительные результаты численных расчетов. Ожидается, что методы будут эффективны для широкого диапазона значений тензорных рангов как у операторов, так у решений.

 

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Множество тензорных поездов фиксированного ранга образует гладкое многообразие. Этот факт можно использовать для построения эффективных численных методов без роста рангов с помощью использования алгоритмов римановой оптимизации.Таким образом, работа по проекту в этом отчетном периоде была направлена разработку и практическую реализацию новых методов римановой оптимизации для решения дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, был предложен и реализован эффективный солвер для решения систем линейных уравнений в касательном пространстве многообразий тензорного поезда, что является важной составной частью в разрабатываемых методах. На основе этого солвера были реализованы методы для решения уравнений типа реакции-диффузии и уравнения Гросса-Питаевского, являющегося нелинейной задачи на собственные значения. Особенностью предлагаемого подхода является использование римановой метрики, ассоциированной с линеаризованной задачей, что позволяет уменьшить число итераций оптимизационного метода. Все алгоритмы реализованы с помощью библиотеки jax, позволяющей пользоваться техниками автоматического дифференцирования для эффективного вычисления риманова градиента, а также запускать метод на графических ускорителях (GPU) с ускорением до 15 раз по сравнению с запусками на CPU.

 

Публикации

1. Высоцкий Л.И., Рахуба М.В. Tensor rank bounds and explicit QTT representations for the inverses of circulant matrices Numerical Linear Algebra with Applications, e2461 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1002/nla.2461

2. Оселедец И.В., Рахуба М.В., Ушмаев А. Local convergence of alternating low-rank optimization methods with overrelaxation Numerical Linear Algebra with Applications, e2459 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1002/nla.2459

3. Рахуба М.В. Методы римановой оптимизации на многообразии тензоров фиксированного ранга для нелинейных задач на собственные значения ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ, стр. 128 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.29003/m3163.978-5-317-06964-3

Возможность практического использования результатов
не указано