Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Группы автоморфизмов аффинных многообразий без неалгебраических элементов. В совместной работе с А.Регетой мы изучаем исчерпаемые подгруппы в группах автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий. Хорошо известно, что эти группы могут быть больше любой алгебраической группы. Например, группа автоморфизмов Aut(A^n) аффинного n-пространства A^n содержит копию кольца многочленов от n−1 переменных, поэтому она бесконечномерна при n ≥ 2. В 1966г. Шафаревич ввёл понятие бесконечномерной алгебраической группы, называемой инд-группой, и показал, что Aut(A^n) имеет структуру инд-группы. Позже было показано, что Aut(X) имеет естественную структуру инд-группы для любого аффинного многообразия X. Элемент g группы автоморфизмов Aut(X) называется алгебраическим, если существует алгебраическая подгруппа G, содержащая g. Мы называем подгруппу автоморфизмов исчерпаемой, если она равна прямому пределу алгебраических подгрупп. Обозначим также через Ga аддитивную группу поля и через SAut(X) подгруппу (возможно, тривиальную), порожденную всеми Ga-действиями. В нашей предыдущей статье «When is the automorphism group of an affine variety nested?» (опубликовано в Transformation Groups) мы доказали эквивалентность следующих условий для подгруппы автоморфизмов, порожденной всеми связными алгебраическими подгруппами: • все его элементы алгебраичны; • это замкнутая исчерпаемая инд-подгруппа; • это полупрямое произведение алгебраического тора и замкнутой абелевой унипотентной подгруппы; • подгруппа SAut(X) абелева. В текущем проекте мы частично обобщаем этот результат на связную компоненту единицы Aut(X). Точнее, мы доказываем эквивалентность следующих условий для аффинного многообразия X: (1) все элементы связной компоненты Aut(X) алгебраичны; (2) связная компонента является замкнутой исчерпаемой инд-подгруппой; (3) связная компонента равна полупрямому произведению алгебраического тора T и замкнутой абелевой унипотентной подгруппы U=SAut(X). Ключевое наблюдение в нашем доказательстве состоит в следующем. При условии (1) для любого элемента связной компоненты его некоторая степерь попадает в полупрямое произведение T и U. Мы доказываем, что связная инд-группа G совпадает со своей замкнутой связной инд-подгруппой H, если для любого элемента G некоторая ее степень лежит в H. Нам также требуется некоторое условие гладкости на H, которое заведомо выполнено для исчерпаемой H. Наконец, мы формулируем некоторые утверждения о группе автоморфизмов жесткого аффинного многообразия, т.е. аффинного многообразия, не допускающего Ga-действий. Статья "Automorphism groups of affine varieties without non-algebraic elements" с приведенными выше результатами представлена в международный рейтинговый журнал. Гибкие многообразия и джойны. Действие группы G на множестве Х является m-транзитивным, если оно транзитивно на множестве m-наборов попарно различных элементов Х, и бесконечно транзитивным, если оно m-транзитивно для всех натуральных m. Точка p на X называется гибкой, если её касательное пространство порождается касательными векторами к орбитам аддитивных действий. Предположим, что Х - аффинное неприводимое многообразие размерности не менее 2. В основополагающей работе пяти авторов - И.В.Аржанцева, М.Г.Зайденберга, Ш.Калимана, Ф.Кутчебауха и Х.Фленнера - доказано, что транзитивность действия SAut(Х) на подмножестве гладких точек Х влечёт бесконечную транзитивность этого действия. Более того, это эквивалентно гибкости всех гладких точек Х. В этом случае многообразие Х называется гибким. Результат остаётся верным, если заменить подмножество гладких точек на открытую орбиту подгруппы специальных автоморфизмов. В этом случае Х называется обобщённо гибким. В данном проекте совместно с Г. Тарояном мы изучаем вопрос гибкости джойнов аффинных многообразий. Понятие джойна многообразий играет важную роль в алгебраической геометрии. Одним из ее основных приложений является теория пересечений алгебраических многообразий, изложенная в «Joins and intersections» Х. Фленнера, Л. О'Кэрролла и В. Фогеля. Мы определяем вложенный джойн аффинных подмногообразий X и Y в A^n следующим образом. Рассмотрим все прямые, пересекающие как X, так и Y, и возьмём замыкание их объединения. При предположении что их аффинные оболочки не пересекаются, а соответствующие векторные пространства пересекаются тривиально, то мы получаем классический вариант понятия джойна. Изучив различные примеры джойнов гибких подмногообразий, таких как подмножества квадратных матриц ограниченного ранга в пространстве матриц, мы выдвинули следующую гипотезу: вложенный джойн двух гибких многообразий также является гибким.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Пусть Y — поверхность дель Пеццо произвольной степени, поляризованная по очень обильному дивизору. Мы изучаем, когда аффинный конус над Y является обобщённо гибким. Эквивалентно, такой конус имеет открытое подмножество с бесконечно транзитивным действием специальной группы автоморфизмов. Аффинные конусы являются богатым источником гибких и обобщённо гибких аффинных алгебраических многообразий. Аффинные конусы над поляризациями поверхностей дель Пеццо интенсивно изучаются в последние 10 лет. Гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степени не ниже 4, соответствующей любой очень обильной поляризации, подтверждена в работах Аржанцева-Куюмжиян-Зайденберга, Парка-Вона, Перепечко. Обобщённая гибкость аффинных конусов над кубическими поверхностями была подтверждена Перепечко для поляризаций над любым очень обильным дивизором, не являющимся плюриантиканоническим, т. е. не пропорциональным антиканоническому; отсутствие Ga-действий для плюриантиканонических поляризаций было доказано Чельцовым-Парком-Воном. Случай степени 2 в основном изучен в работе Кима-Парка. Другие семейства примеров гибких аффинных конусов возникают из четырехмерных многообразий Фано-Мукаи, их начали изучать в последнее время в работах Прохорова-Зайденберга, Вона, Ханга-Труонга, Хоффа-Труонга. Вычисления для поверхностей дель Пеццо низших степеней сильно зависят от поляризации и предполагают работу с семействами обильных дивизоров как полиэдральными конусами большой размерности. Итак, мы представляем модуль для системы Sagemath, который упрощает большинство операций с указанными конусами и позволяет проверять обобщённую гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо произвольной степени. В качестве приложения мы проверяем обобщённую гибкость в степени 1 для двух семейств поляризаций и получаем следующую теорему. Теорема. Пусть Y — поверхность дель Пеццо степени 1, а H — очень обильный дивизор в относительной внутренности одного из следующих конусов: 1. Конус(2L-E_1,2L-E_2,L-E_3, 2L-E_4-...-E_8,E_1,...,E_8), 2. Конус(L-E_1,...,L-E_6, L-E_7-E_8, E_1,...,E_8), где L — класс прямой общего положения из модели раздутий Y, а E_i — исключительные кривые. Тогда аффинный конус над Y, поляризованный H, является обобщённо гибким. Более того, мы адаптировали модуль для слабых поверхностей дель Пеццо и доказали, что аффинные конусы над слабыми поверхностями дель Пеццо степени 6 обобщённо гибкие для всех очень обильных поляризаций.