КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 21-71-00049

НазваниеТорическая топология и геометрическая теория групп

РуководительВерёвкин Яков Александрович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

07.2021 - 06.2023

Конкурс№60 - Конкурс 2021 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-105 - Топология

Ключевые словаторическая топология, геометрическая теория групп, момент-угол многообразия и комплексы

Код ГРНТИ27.19.00

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Благодаря работам научных руководителей руководителя и исполнителей проекта (Бухштабера В. М. и Панова Т. Е.) в последние 20 лет возникло новое активное направление в топологии, геометрии и комбинаторике - торическая топология, которое позволило сформировать новые подходы к проблемам, ключевым конструкциям и фундаментальным результатам алгебраической топологии, алгебраической и симплектической геометрии, гомологической алгебры и комбинаторной геометрии. Основные результаты и конструкции этого направления вошли в монографию В.М.Бухштабера и Т.Е.Панова "Toric Topology", опубликованную в серии "Mathematical Surveys and Monographs" Американского математического общества в 2015 году. В последние годы торическая топология обогатилась новыми приложениями как в фундаментальных разделах математики, таких как теория гомотопий, комплексная и лагранжева геометрия, теория слоений, так и в прикладных разделах таких как теория фуллеренов, графенов и нанотрубок, теория топологической сложности конфигурационных пространств механизмов. Торическая топология бурно развивается в настоящее время и привлекает большое внимание специалистов по всему миру. В настоящее время сложились подходящие условия для развития приложений торической топологии как в смежных разделах геометрии и топологии, так и в прикладных областях исследований, включая науки о новых материалах (фуллерены, многослойные графены, нанотрубки, квазикристаллы). Прямоугольные группы Артина и Кокстера играют важную роль в геометрической теории групп. С абстрактной категорной точки зрения, эти группы являются частными случаями конструкции граф-произведения групп, соответствующего набору из m групп G=(G_1,\ldots,G_m) и графу \Gamma на m вершинах. Неформально, граф-произведение G^\Gamma состоит из слов с элементами из групп G_1,\ldots,G_m, в которых элементы из G_i и G_j с i не равным j коммутируют, если {i,j} является ребром графа \Gamma. Граф-произведение G^\Gamma находится между свободным произведением G_1\star\ldots\star G_m (соответствующим графу \Gamma из m отдельных вершин) и декартовым произведением G_1 x ... x G_m (соответствующим полному графу). Прямоугольные группы Артина и Кокстера получаются при G_i=Z и G_i=Z_2, соответственно. Рассмотрение коммутантов граф-произведений дискретных групп, помимо чисто алгебраического интереса, пришло из факта, что коммутанты граф-произведения являются фундаментальными группами весьма интересных асферических пространств. С этой топологической точки зрения наиболее интересны прямоугольные группы Кокстера. Её коммутант является фундаментальной группой конечномерного асферического комплекса, который оказывается многообразием в случае, когда \sK является симплициальным разбиением сферы. Когда \sK --- цикл (граница многоугольника) или триангуляция 2-мерной сферы, мы получаем в качестве коммутанта фундаментальную группу поверхности или $3$-мерного многообразия. Эти группы в последнее время привлекли большое внимание в геометрической теории групп и маломерной топологии. Кроме того, эти многообразия, соответствующие двойственным комплексам пермутоэдров и граф-ассоциэдров произвольной размерности, играют важную роль в работах Гайфуллина (A. Gaifullin. Universal realisators for homology classes. Geom. Topol. 17 (2013), no. 3, 1745--1772.,А. А. Гайфуллин. Малые накрытия над граф-ассоциэдрами и реализация циклов. Мат. Сборник 207 (2016) (в этом томе), как универсальные реализаторы в проблеме реализации классов гомологий многообразиями. Рассмотрение нижнего центрального ряда прямоугольной группы Кокстера приводит к интересным и новым результатам в изучении коммутанта прямоугольной группы Кокстера и описания в нём соотношений. В торической топологии важную роль играет момент-угол комплекс Z_K, клеточный комплекс с действием m-мерного тора, составленный из произведений дисков и окружностей, сопоставляемый каждому симплициальному комплексу K на m вершинах. Такое сопоставление функториально, таким образом, возникает функтор из категории симплициальных комплексов и их вложений в категорию пространств с действием тора и эквивариантных отображений. Таким образом, комбинаторные свойства симплициального комплекса переходят в топологические свойства момент-угол комплекса Z_K. В частности, Z_K является (m+n)-мерным многообразием, если K является симплициальным разбиением (n-1)-мерной сферы. Важную роль в изучении топологических свойств момент-угол комплекса играет пространство Дэвиса–Янушкевича, являющееся полиэдральным произведением бесконечномерного комплексного проективного пространства и точки. С гомотопической точки зрения является важным описать класс симплициальных комплексов, для которых соответствующий Z_K является букетом сфер. Большой подкласс симплициальных комплексов образуют такие К, для которых Z_K есть букет сфер, где каждая сфера есть высшее итерированное произведение Уайтхеда канонических двумерных классов в пространстве Дэвиса-Янушкевича. В связи с этим возникает задача описания гомотопических алгебр Ли и алгебр Понтрягина момент-угол комплекса и пространства Дэвиса–Янушкевича относительно высшего произведения Уайтхеда (Самельсона). В случае произвольного топологического пространства двуместные произведения Уайтхеда удовлетворяют тождеству Якоби и определяют алгебру Ли, а высшие произведения Уайтхеда определены как некоторые множества в гомотопических группах. Однако для пространства Дэвиса-Янушкевича имеются стандартные двумерные сфероиды, для которых высшие итерированные произведения Уайтхеда определены канонически. Имеются примеры симплициальных комплексов, для которых высшие произведения Уайтхеда стандартных сфероидов удовлетворяют некоторым обобщённым тождествам Якоби. Решение этой задачи нами предлагается искать, используя L -бесконечность структуры. L-бесконечность алгебра – это векторное пространство, наделённое набором «высших скобок», удовлетворяющих некоторым обобщённым тождествам Якоби. Ожидается изучить тесную взаимосвязь L-бесконечность структур на гомотопической алгебре Ли и высших итерированных произведений Уайтхеда. Данный подход решения задачи является совершенно новым и малоизученным. Высшие произведения Уайтхеда являются важными инвариантами нестабильного гомотопического типа. Они изучались с 1960-х годов в работах гомотопических топологов, таких как К.~Харди~\cite{hard61}, Дж.~Портер~\cite{port65} и Ф.~Уилльямс~\cite{will72}. Появление момент-угол-комплексов и полиэдральных произведений в торической топологии в конце 1990-х открыло новые перспективы в теории высших гомотопических инвариантов, таких как высшие произведения Уайтхеда. Гомотопическое расслоение полиэдральных произведений \begin{equation} (D^2,S^1)^{\mathcal K}\to(\mathbb C P^\infty)^{\mathcal K}\to (\mathbb C P^\infty)^m \end{equation} было использовано в~\cite{pa-ra08} как универсальная модель для изучения высших произведений Уайтхеда. Здесь $(D^2,S^1)^{\mathcal K}={\mathcal Z_K}$ "--- момент-угол-комплекс, а $(\mathbb C P^\infty)^{\mathcal K}$ "--- пространство, гомотопически эквивалентное пространству Дэвиса-Янушкевича. Форма вложенных скобок в итерированном произведении Уайтхеда отражается в комбинаторике симплициального комплекса~${\mathcal K}$. В своей недавней работе Абрамян и Панов определили операцию подстановки симплициальных комплексов, с помощью которой ими был построен пример симплициального комплекса~$\partial\Delta_w$, реализующего любое данное произведение Уайтехда~$w$. Более того, для произведений Уайтхеда глубины не больше~$1$ они показали, что $\partial\Delta_w$ "--- наименьший симплициальный комплекс реализующий произведение~$w$.

Ожидаемые результаты
Ожидается исследование нижнего центрального ряда прямоугольной группы Кокстера и описание минимальных систем образующих в градуированных компонентах присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера. Данные исследования значимы для изучения коммутанта прямоугольной группы Кокстера и групп, порождённых отражениями на плоскости Лобачевского. Ожидается получить некоторое описание гомотопической алгебры Ли и алгебры Понтрягина момент-угол комплекса и пространства Дэвиса-Янушкевича путем изучения L-бесконечность структур. L-бесконечность алгебра – это векторное пространство, наделённое набором «высших скобок», удовлетворяющих некоторым обобщённым тождествам Якоби. Имеется работа [BMBM], которая устанавливает связь между высшими произведениями Уайтхеда и L-бесконечность структурами. В данной работе, в частности, доказывается, что в случае произвольного топологического пространства X для любого элемента x из произведения Уайтхеда [x_1, … x_n] существует некоторая L -бесконечность структура, которая «восстанавливает» элемент x, то есть l_n(x_1, …, x_n)=x, где l_n есть n-местная скобка из определения L-бесконечность структуры. Планируется целиком описать рациональную гомотопическую алгебру Ли пространства Дэвиса-Янушкевича в случае минимального симплициального комплекса, для которого определено высшее итерированное произведение Уайтхеда [[mu_1, mu_2, mu_3], mu_4, mu_5]. Также планируется изучить, в каких случаях многоместные итерированные скобки из определения L-бесконечность структур совпадают с высшими итерированными произведениями Уайтхеда пространства Дэвиса-Янушкевича, откуда можно было бы получить соотношения типа Якоби. [BMBM] Belchi, Francisco, Murillo, Aniceto, Buijs, Urtzi, Moreno-Fernandez, Jose Manuel. Higher order Whitehead products and L-infinity structures on the homology of a DGL. Linear Algebra and Its Applications, (2017) 520, 16-31. В ходе проекта планируется детальное изучение гомотопического типа пространства $\mathcal Z_{\partial\Delta_w}$. Ожидается, что $\mathcal Z_{\partial\Delta_w}$ гомотопически эквивалентно букету произведений сфер. Например, в случае, когда $w$ "--- сгнездованное произведение Уайтхеда, С.Абрамян доказал, что $\mathcal Z_{\partial\Delta_w}$ гомотопически эквивалентно букету сфер. Немаловажным объектом в топологии момент-угол-комплексов является алгебра Понтрягина $H_*(\Omega(\mathbb C P^\infty)^{\mathcal K}; \mathbb Q)$. В ходе проекта ожидается следующий результат. Предложим, что симплициальные комплексы $\mathcal K_1, \ldots, \mathcal K_p$ таковы, что ядро канонического гомоморфизма \[ H_*(\Omega(\mathbb C P^\infty)^{\mathcal K_i}; \mathbb Q) \to \Lambda_Q[u_1, \ldots, u_{m_i}], \] где $m_i$ "--- количество вершин комплекса $K_i$, порождено классами, соответствующими произведениям Уайтхеда. Тогда то же самое верно подстановочного комплекса $\partial\Delta(\mathcal K_1, \ldots, \mathcal K_p, j_1, \ldots, j_q)$.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---