КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 20-71-00109
НазваниеОрбиты групп регулярных автоморфизмов G-многообразий
РуководительГайфуллин Сергей Александрович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва
| Период выполнения при поддержке РНФ | 07.2020 - 06.2022 |
Конкурс№49 - Конкурс 2020 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые словаалгебраическое многообразие, алгебраическая группа, автоморфизм, торическое многообразие, орисферическое многообразие, орбита
Код ГРНТИ27.17.33
СтатусУспешно завершен
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
При изучении математических объектов важны не только сами объекты, но и отображения между ними. Так при изучении алгебраических многообразий важную роль играют морфизмы между разными многообразиями и автоморфизмы данного многообразия. В данном проекте мы рассматриваем регулярные автоморфизмы и основной акцент делаем на аффинные многообразия, там группа регулярных автоморфизмов наиболее богата. Автоморфизмы данного многообразия образуют группу, которая естественным образом действует на этом многообразии. Одной из важнейших характеристик действия является разбиение множества (в данном случае многообразия) на орбиты. Соответственно, естественным вопросом является изучение разбиения многообразия на орбиты группы автоморфизмов. Точки, лежащие в одной орбите, имеют одинаковые свойства .
Зачастую важные классы многообразий имеют естественные действия линейных алгебраических групп. Например, активно изучаются квазиоднородные многообразия, то есть имеющие открытую орбиту алгебраической группы. Такие многообразия часто имеют комбинаторные характеристики, в терминах которых можно изучать данный класс многообразий. Ярким примером такой ситуации являются торические многообразия, которые имеют описание в терминах вееров. Действие алгебраической группы G даёт подгруппу в группе автоморфизмов. Таким образом, каждая орбита группы автоморфизмов является объединением G-орбит и для того, чтобы описать орбиты группы автоморфизмов нужно понять, какие из G-орбит можно перевести друг в друга автоморфизмом.
Пусть X -- аффинное многообразие. В работе Аржанцева-Зайденберга-Калимана-Кучебауха-Фленера (2012) введён ставший популярным класс гибких многообразий. Это многообразия, для которых подгруппа специальных автоморфизмов действует транзитивно на гладких точках многообразия. Гибкими, например, являются нормальные торические многообразия, многообразий флагов (Аржанцев-Зайденберг-Куюмжиян), орисферические многообразияя сложности ноль, гладкие квазиоднородные многообразия редуктивной группы (Гайфуллин-Шафаревич). Получается, что для гибких многообразий задача описания орбит группы автоморфизмов сводится к задаче описания тех орбит, которые состоят из особых точек.
Данный подход был реализован для нормальных торических многообразий в работах Бажова (2012) для полных многообразий и Аржанцева-Бажова (2012) для аффинного случая. В этих работах описаны орбиты связной компоненты группы автоморфизмов. В работе А.А. Шафаревича (2019) было получено описание орбит связной компоненты группы автоморфизмов аффинного торического многообразия в геометрических терминах.
В рамках данного проекта планируется получение описания орбит групп автоморфизмов нескольких типов G-многообразий. Это нормальные аффинные орисферические многообразия сложности ноль, m-надстройки, многообразия с действием тора сложности один. В случае, когда на гладких точках группа автоморфизмов не действует транзитивно прежде всего будет исследован вопрос, каковы типичные орбиты группы автоморфизмов, какими рациональными инвариантами они разделяются и разделяются ли они регулярными инвариантами.
Ожидаемые результаты
1) Описание орбит группы регулярных автоморфизмов аффинных орисферических многообразий сложности ноль.
2) Описание орбит группы регулярных автоморфизмов полных орисферических многообразий сложности ноль.
3) Описание орбит группы регулярных автоморфизмов аффинной триномиальной гиперповерхности. Обобщения для произвольного алгебраического многообразия с действием тора сложности один.
4) Описание аффинных триномиальных гиперповерхностей для которых регулярные инварианты разделяют типичные орбиты группы автоморфизмов. Нахождение набора рациональных инвариантов разделяющих типичные орбиты.
5) Установление связи между орбитами группы автоморфизмов аффинного многообразия и его m-надстройки.
Данные результаты позволят существенно расширить перечень многообразий, для которых мы полностью знаем набор орбит группы автоморфизмов. Они обобщат результаты по описанию орбит групп автоморфизмов торических многообразий с одной стороны. С другой стороны они будут являться логичным продолжением деятельности по установлению гибкости некоторых классов многообразий.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2020 году
1) Описаны орбиты группы автоморфизмов на аффинном орисферическом многообразии сложности ноль в терминах степеней однородных локально нильпотентных дифференцирований. Доказано, что орбиты группы автоморфизмов совпадают с орбитами подгруппы, порождённой группой G и G_a-подгруппами, соответствующими однородным локально нильпотентным дифференцированиям.
2) Описаны орбиты группы автоморфизмов на аффинном (не обязательно нормальном) торическом многообразии в терминах моноида весов.
3) Дано явное описание в координатах орбит группы автоморфизмов на аффинной триномиальной гиперповерхности с одной переменной, входящей в 1 степени при условии, что два других монома не имеют векторы степеней вида (2, 2a_1,...,2a_s) одновременно.
Публикации
Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1) Доказано, что для нежёсткой триномиальной гиперповерхности имеется конечное число орбит группы автоморфизмов.
2) Произведён анализ сингулярных орбит связной компоненты группы автоморфизмов триномиальной гиперповерхности. Это позволило полностью описать орбиты связной компоненты группы автоморфизмов для некоторых классов гибких триномиальных гиперповерхностей.
3) Для класса триномиальных гиперповерхностей, имеющих ровно одну единицу среди набора степеней, и для которых не верно, что наборы степеней обоих оставшихся мономов имеют вид (2, 2m_1, ..., 2m_k) полностью описаны орбиты группы автоморфизмов и группы специальных автоморфизмов.
4) Получено необходимое условие в терминах группы классов дивизоров для двух G-орбит на аффинном или проективном орисферическом многообразии сложности ноль для того, чтобы эти 2 орбиты лежали в одной орбите связной компоненты группы автоморфизмов.
Публикации
Возможность практического использования результатов
не указано