КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 14-21-00035

НазваниеАнализ и алгебра в приложениях и взаимодействии

РуководительСмирнов Станислав Константинович, кандидат наук (признаваемый в РФ PhD)

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет", г Санкт-Петербург

Период выполнения при поддержке РНФ

2014 г. - 2016 г.

, продлен на 2017 - 2018. Карточка проекта продления (ссылка)

Конкурс№2 - Конкурс 2014 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований коллективами существующих научных лабораторий (кафедр)».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика

Ключевые словаматематическая физика, решеточные модели, алгебраическая геометрия, пространства модулей, гармонический анализ, комплексный анализ, К-теория, теория групп, теория гомотопий

Код ГРНТИ27.00.00

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
В развитии математики последние десятилетия наблюдается тенденция сближения математических дисциплин, и наиболее значимые и глубокие результаты получаются на стыке различных областей математики. В Петербургской математической школе традиционно сильными всегда были направления алгебры, анализа и математической физики, и объединение этих направлений в рамках одного проекта представляется весьма перспективным для создания плодотворной научной среды. Междисциплинарная исследовательская лаборатория им. П.Л. Чебышева была основана в 2010 году при поддержке гранта Правительства РФ (государственное финансирование с 2010 по 2013 год). В лаборатории основной стратегией является поддержка молодых исследователей. Данный проект строится вокруг трех основных научных направлений: алгебры, анализа и математической физики, сгруппированных вокруг соответсвующих семинаров лаборатории. Опыт и научный задел этих групп, а также их взаимодействие, позволит усилить и развить научные возможности лаборатории, воспитать молодых исследователей, и достичь новых результатов в актуальных областях математики. Научные цели проекта варьируются от чисто алгебраических или алгебро-топологических (теория алгебраических групп, теория гомотопий), до аналитических (гармонический анализ, теория операторов), и включают как непосредственные приложения, так и результаты взаимодействия этих областей. Проект включает в себя следующие основные научные задачи по трем направлениям исследований: - Изучение K-теории линейных алгебраических групп и симметрических пространств: разработка системного подхода к проблеме вычислений в мотивной стабильной гомотопической категории позволит получить ответы на многие вопросы теории алгебраических групп, не достижимые другими методами; - Изучение локализаций и пополнений в теории групп и теории гомотопий: конструкции локализаций и пополнений играют важную роль в теории некоммутативных групп и топологических пространств, позволяют строить универсальные объекты, обладающие заданными свойствами, открывают методы исследования групп и пространств; - Систематизация феномена универсальности пространств модулей в алгебраической геометрии: универсальность проявляется в столь далеких друг от друга областях, как математическая экономика, геометрия, квантовая теория поля. Более полное понимание этого феномена даст путь к решению многих задач в этих областях; - Применение методов математической физики в алгебраической геометрии и перечислительной комбинаторике: предполагается получение новых примеров и новой интерпретации топологической рекурсии в перечислительных задачах алгебро-геометрического происхождения; - Построение комбинаторных аналогов тензора энергии-импульса конформной теории поля в критических двумерных решеточных моделях: дискретный аналог этого, вероятно, самого важного оператора в конформной теории поля, может пролить новый свет на все направление, изучающее дискретные голоморфные наблюдаемые в критических решеточных моделях, и дать новый толчок к строгим доказательствам конформной инвариантности их пределов; - Исследование гармонических функций в старших размерностях: это важная и в значительной степени открытая проблема в математической физике и теории уравнений в частных производных; - Исследование свойств систем собственных векторов дифференциальных операторов: одна из важнейших задач анализа и его приложений к математической физике, возможность разложений по собственным функциям различных дифференциальных операторов, связана с такими свойствами систем собственных функций как полнота, различные формы базисности, наличие линейного метода суммирования; - Развитие метода функции Беллмана: этот метод уже успешно применяется для доказательства некоторых неравенств гармонического анализа и теории вероятностей, а построение общей теории предоставит метод решения широкого класса важных задач в этой области. Для максимальной эффективности научной работы важна плодотворная научная атмосфера, активное взаимодействие между молодыми учеными и ведущими специалистами. Поэтому упор в проекте будет делаться в основном на поддержку молодежи: студентов, аспирантов и постдоков. В том числе, необходимо проведение широкого спектра учебных курсов, рабочих семинаров и докладов приглашенных ученых, поддержка научных командировок молодых ученых в ведущие мировые математические центры.

Ожидаемые результаты
Проблемы, на решение которых нацелен данный проект, - известные и важные задачи современной алгебры, математической физики и анализа. Сложность и масштаб поставленных задач, а также особенности математических исследований как таковых, не позволяют точно планировать конкретные результаты и возможные развития сюжета, однако во всех этих задачах даже частичный прогресс в этих областях прольет свет на всё направление исследований. Во всех задачах применяются и развиваются совершенно новые подходы, разрабатываемые участниками проекта. Ожидается продвижение и важные результаты в следующих основных задачах по трем направлениям исследований: - Разработка системного подхода к проблеме вычислений в мотивной стабильной гомотопической категории - важнейшей задачи алгебраической геометрии и К-теории, решение которой даст метод решения многих актуальных задач этой области. - Изучение K-теории линейных алгебраических групп. Алгебраическая K-теория, начиная с работ Басса, является важным инструментом для изучения линейных алгебраических групп и связанных с ними структур. В этой области уже имеется большое количество важных результатов; планируется дальнейшее развитие этой методики. - Решение ключевых задач о локализациях и пополнениях в теории групп и теории гомотопий. Конструкции локализаций и пополнений играют важную роль в теории некоммутативных групп и топологических пространств, позволяют строить универсальные объекты, обладающие заданными свойствами, открывают методы исследования групп и пространств. - Систематизация феномена универсальности пространств модулей в алгебраической геометрии. Универсальность - один из объединяющих сюжетов в современной математике. Универсальность проявляется в столь далеких друг от друга областях, как математическая экономика (проблема описания множества равновесия по Нэшу в некооперативной игре), геометрия (проблема отыскания локальных формул для классов Понтрягина, разрешение особенностей мелких клеток Шуберта), квантовая теория поля (задачи вычисления фейнмановских амплитуд - "Фейнмановские мотивы"). Более полное понимание этого феномена даст путь к решению многих задач в этих областях. - Применение методов математической физики в алгебраической геометрии и комбинаторике: изучение топологической рекурсии и получение алгебро-геометрических приложений тау-функций. В последние годы методы математической физики весьма успешно применяются при решении задач как алгебраической геометрии, так и перечислительной комбинаторики, обнаруживая при этом тесную взаимосвязь между этими дисциплинами. Важнейшие примеры включают теорию пересечений на пространствах модулей алгебраических кривых и метод топологической рекурсии, позволяющий в универсальной форме записывать решения многих перечислительных задач. Предлагаемые методы позволят решить и другие важные задачи. - Построение комбинаторных аналогов тензора энергии-импульса конформной теории поля в критических двумерных решеточных моделях. Тензор энергии-импульса – вероятно, самый важный оператор в конформной теории поля – описывает отклик системы на инфинитезимальное изменение метрики в данной точке и служит основой для всей алгебраической структуры корреляционных функций, позволяя получать уравнения в частных производных для этих функций, а также использовать мощные средства теории представлений для классификации различных КТП. Такая дискретная конструкция, подтвержденная соответсвующими результатами о сходимости при измельчении решетки, может пролить новый свет на все направление, изучающее дискретные голоморфные наблюдаемые в критических решеточных моделях, и дать новый толчок к строгим доказательствам конформной инвариантности их пределов. - Исследование разложений по собственным функциям различных дифференциальных операторов - одна из важнейших задач анализа и его приложений к математической физике. Возможность этих разложений связана с такими свойствами систем собственных функций как полнота, различные формы базисности (базисы Рисса, безусловные базисы, базисы Маркушевича), наличие линейного метода суммирования. - Исследование гармонических функций в старших размерностях. Это важная и в значительной степени открытая проблема в математической физике и теории уравнений в частных производных. Многомерные аналоги голоморфных функций (гармонические векторные поля) - объект крайне сложный, вокруг которого немало открытых вопросов. - Изучение аналитических свойств гармонических дифференциальных форм и векторных полей. Гармонические дифференциальные формы и векторные поля естественно возникают в самых разных областях классической и современной физики. В случае пространств вещественной размерности 2 к исследованию гармонических форм применимы методы комплексного анализа. В то же время, про аналитические свойства таких форм в старших размерностях известно сравнительно немного. Известная в комплексном анализе триада «единственность-нормальность-аппроксимация» на сегодняшний день практически не развита даже для гармонических векторных полей в трёхмерном пространстве. - Развитие метода функции Беллмана. Предлагается подход для решения экстремальных задач на функциональных пространствах. На данный момент метод функции Беллмана успешно применяется для доказательства многих важных неравенств гармонического анализа и теории вероятностей. Несмотря на то, что решения этих задач схожи по идеологии и технике, до сих пор практически отсутствуют общие утверждения, которые могли бы быть применены к решению целого класса схожих задач. Построение подобной общей теории для других функциональных классов позволит решать многие экстремальные задачи и доказывать точные неравенства для них. Кроме конкретных научных результатов, важнейшей целью проекта является поддержка молодых ученых: студентов, аспирантов и постдоков. Планируется ряд мер для создания плодотворной среды для молодежи: проведение семинаров, курсов, приглашение ведущих специалистов во всех указанных областях математики, поддержка командировок в крупнейшие мировые математические центры.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---