Аннотация результатов, полученных в 2014 году
1. Создана стохастическая модель, в основу которой была положена система стохастических неоднородных по пространству нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Смолуховского, описывающая мгновенные концентрации двух реагирующих компонент, при наличии диффузии, аннигиляции туннелированием и наличии нерадиционных центров рекомбинации или адсорбции, а также возможности флуктуаций начальных концентраций. Сравнительные численные и физические эксперименты показали хорошее согласие. По результатам работы написана статья, принятая в печать в журнале Jornal of Mathematical Chemistry: Karl K. Sabelfeld,
Oliver Brandt, F. Feix, and
Vladimir M. Kaganer. Stochastic model for the fluctuation-limited reaction-diffusion kinetics in inhomogeneous media based on the nonlinear Smoluchowski equations. Статья принята в печать 25.11.2014. 2. Выведена система замкнутых моментных уравнений на средние и корреляционные функции в случае бимолекулярных реакций для аннигиляции частиц туннелированием, и неоднородной системы при наличии диффузии одной из компонент (например, электронов), без наличия центров рекомбинации. Проведено подробное исследование временной асимптотики среднего решения и интенсивности фотолюминесценции для этих случаев, получено полное согласие между теоретически полученной асимптотикой и результатами стохастического моделирования. Удалось обнаружить, путем численного моделирования, формирование процесса кластеризации: со временем, изначально равномерно распределенные электроны и дырки начинают формировать кластеры дырок и электронов. Удалось описать условия возникновения кластеризации и разработать специальный вероятностный аппарат для статистической характеризации степени кластеризации, основанный на плотности распределения до ближайшего соседа. Результаты данной работы будут опубликованы в журнале Monte Carlo Methods and Applications: статья K. Sabelfeld, A. Levykin, A. Kireeva "Stochastic and cellular-automata simulation of fluctuation-induced reaction-diffusion kinetics governed by inhomogeneous nonlinear Smoluchowski equations with random initial concentrations", статья принята к печати в журнале Monte Carlo Methods and Applications, vol. 21, N1 (2015). 3. Для исследования влияния флуктуаций коэффициента диффузии разработан метод полиномиального хаоса со специальным вариантом вероятностной коллокации. Данный метод хотя и является приближенным, позволяет кардинально уменьшить необходимое число реализаций решения уравнения диффузии. Действительно, если в прямом моделировании методом Монте-Карло приходится решать уравнения тысячи и десятки (если не сотни) тысяч раз (в зависимости от требуемой точности), то в методе полиномиального хаоса число решений уравнения достаточно взять равным числу требуемых коэффициентов разложения - обычно это десяток или несколько десятков. Работа опубликована в журнале Monte Carlo Methods and Applications, v.20(4) (2014). 4. Разработан специальный стохастический проекционный метод, обладающий большим быстродействием и высокой точностью, что позволило исследовать влияние флуктуаций начальных концентраций для специального класса областей. Алгоритм и результаты расчетов были нами опубликованы в журнале Applied Mathematics and Computation, v. 248 (2014). 5. Подробно исследован процесс рекомбинации экситонов - это физически важный случай фотолюминесценции. Здесь аннигиляция электронов с дырками происходит, когда они встречаются в одном узле кристаллической решетки (образуя экситон). Данный случай представляет большой интерес для практики и был изучен нами в совместной работе с группой физиков из Института Твердотельной Электроники им. П. Друде (Берлин).Большая серия экспериментов была проведена упомянутой немецкой группой физиков, и было получено очень хорошее подтверждение предложенной теории баллистической диффузии. Совместная работа руководителя данного проекта и большой группы немецких физиков опубликована в журнале Physical Review B, v. 90 (2014): Christian Hauswald, Pierre Corfdir, Johannes K. Zettler, Vladimir M. Kaganer, Karl K. Sabelfeld, Sergio Fern´andez-Garrido, Timur Flissikowski, Vincent Consonni, Tobias Gotschke, Holger T. Grahn, Lutz Geelhaar, and Oliver Brandt. "Origin of the nonradiative decay of bound excitons in GaN nanowires".

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
В данном разделе мы представляем основные выполненные работы и результаты, полученные в 2015 году: 1. Построен общий стохастический метод, представленный в форме Марковского случайного блуждания в непрерывном пространстве координат и времени и его дискретная клеточно-автоматная реализация для моделирования процессов аннигиляции электронов и дырок как для двумерного, так и трехмерного случаев. Трехмерный вариант потребовал разработки схемы распараллеливания метода, что с учетом нелинейности процессов диффузии и туннелирования оказалось нетривиальной задачей, однако это позволило реализовать алгоритм для практически интересных задач об оценке средней концентрации и интенсивности фотолюминесценции в полупроводниках. Результаты работы опубликованы в статье 2015 года (A.E. Kireeva, K.K. Sabelfeld. Cellular Automata Model of Electrons And Holes Annihilation in an Inhomogeneous Semiconductor. Lecture notes in computer science, 9251, pp.191-200, 2015) , а также поданы в печать в виде статьи (А.Е. Киреева, К.К. Сабельфельд. Параллельная реализация стохастической клеточно-автоматной модели рекомбинации электронов и дырок в полупроводнике. Труды международной научной конференции " Параллельные вычислительные технологии (ПАВТ2016)). Здесь впервые получены сравнения поведения интенсивности фотолюминесценции для плоских и пространственных моделей для имитирования процессов аннигиляции электронов и дырок с учетом диффузии, туннелирования и наличии нерадиационных центров захвата (дефекты и дислокации). Наряду с построением самих алгоритмов моделирования, предложены статистические критерии появления кластеризации, что позволило изучить процессы сегрегации электронов и дырок и в трехмерном случае. В частности, мы отметили заметно различное поведение сегрегации в двумерных и трехмерных моделях: если в двумерных моделях сегрегация явно выражена и следует теоретическим оценкам, то в трехмерном случае она менее выражена и обнаруживает отклонение от теоретических предсказаний. Это ставит новые вопросы по структуре пространственно-временных корреляций в данных процессах, которые будут нами изучаться далее в 2016 году. 2. На основе разработанной стохастической модели были построены расширенные схемы, позволяющие моделировать бимолекулярные реакции, когда, наряду с туннелированием, диффузией и центрами рекомбинации, бимолекулярные реакции протекают согласно произвольным потенциалам взаимодействия. Данный подход был применен для двух различных процессов с бимолекулярным взаимодействием. Первая - это процессы образования молекулярного водорода на частицах межзвездной пыли, - здесь удалось построить модель, учитывающую все последние представления об этих процессах. Результаты нашего моделирования хотя в целом и согласуются с существующими оценками о скорости образования молекулярного водорода в межзвездной пыли, но вычисленные значения скорости значительно превышают эти оценки. Наше объяснение основано на том, что общепринятые методы оперируют с простейшими моделями для средних концентраций, не учитывая, что на малых частицах реакции должны моделироваться с учетом флуктуаций. Работа опубликована в журнале в области космологии (K. Sabelfeld. A stochastic model and Monte Carlo simulation algorithm for fluctuation-induced H2 formation on the surface of interstellar dust grains. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, JCAP 09 (2015) 061). Вторая задача - из области моделирования кинетических реакций энзимов в клетке. В нашей работе мы предложили обобщение модели Михаэлиса-Ментена , которая позволяет учитывать флуктуации концентраций, эффект туннелирования, а также возможность поглощения энзимов различными центрами захвата. Работа опубликована в трудах международной конференции по биомедицинкому инженерингу (K.K. Sabelfeld. Stochastic simulation of fluctuation-induced enzyme kinetics in vicinity of traps, based on probabilistic tunneling and diffusion mechanisms. Poceedings of the 2015 International conference on biomedical engineering and computational technologies (SIBIRCON). ISBN978-1-4673-9109-2, IEEE, 2015, pp. 156-159). 3. В 2015 году было проведено детальное исследование применимости разработанной математической модели к описанию реальных процессов фотолюминесценции на основе проведения экспериментов на нановискерах из нитрида галлия. Эти работы проводились совместно с группой немецких физиков из Института твердотельной электроники им. П. Друде (Берлин) во время командировки руководителя проекта в данный институт. В результате этих исследований удалось получить оценки основных констант скорости реакций аннигилирования в процессах туннелирования, коэффициентов диффузии, и констант, описывающих скорость захвата нерадиационными центрами рекомбинации. Результаты данной работы были опубликованы в совместной работе: K. Sabelfeld, O. Brandt, V. Kaganer. Stochastic model for the fluctuation-limited reaction-diffusion kinetics in inhomogeneous media based on the nonlinear Smoluchowski equations. J. Math. Chemistry, 2015, Volume 53, Issue 2, pp 651-669, а также представлены на международной конференции совместным докладом (K.K. Sabelfeld, O. Brandt, V. Kaganer, and F. Feix. Stochastic simulation of electron–hole annihilation by tunneling and diffusion based on a system of Smoluchowski equations. X IMACS seminar on Monte Carlo methods, Linz, Austria, July, 6-11, 2015. Book of abstracts, p.86). 4. Построен алгоритм полиномиального хаоса, основанный на вероятностном методе коллокаций, как для коэффициентной задачи для уравнения транспорта в пористой среде, так и для чисто диффузионной задачи со случайными начальными данными. Можно отметить, что этот пример достаточно общий, и предложенный метод решения задач со случайным распределением начальных концентраций действительно может быть применен для чрезвычайного широкого класса задач в прикладной химии и биомедицине, например, в исследуемой нами задаче о кинетике энзимов в клетке. Работа была представлена докладом на международной конференции и опубликована в трудах этой конференции (И.А. Шалимова, К.К. Сабельфельд, О.В. Дульзон. Стохастический метод коллокаций для решения начально-краевых задач со случайными входными данными. Труды международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2015», Новосибирск, 2015, ISBN 978-5-9905347-2-8, с. 838-844). 5. Для ускорения сходимости разностных неявных схем при решении задач аннигиляции электронов с неподвижными дырками (случай низких температур) нами была предложена переформулировка исходной нелинейной задачи с диффузионно подвижными электронами в виде линейной задачи с внутренними точечными границами (позиции электронов), которые однако меняются (разрушаются) во времени вследствие аннигиляции. Данный подход действительно заметно ускорил расчеты, однако позволил получить решения лишь для времен порядка 10^3 наносекунд, что недостаточно для проведения корректных сравнений как с экспериментом, так и с результатами, полученными стохастическими методами. В настоящее время разрабатывается новый неявный разностный метод, с помощью которого мы планируем получить приближенные решения до времен порядка 10^8 наносекунд. 6. Построены гибридные клеточно-автоматные и стохастические методы для моделирования кинетики люминесценции со случайными входными данными, что позволило оценить влияние флуктуаций параметров задачи (такие как скорость туннелирования при аннигиляции между электронами и дырками, и при туннелировании в центры нерадиационной рекомбинации, а также коэффициента диффузии при различных температурах) на интенсивность фотолюминесценции. В силу нелинейности задачи, учет флуктуаций сказался кардинальным образом на одних характеристиках, но слабо повлиял на поведение других. Результаты этих исследований опубликованы в статье (A.E. Kireeva, K.K. Sabelfeld. Cellular Automata Model of Electrons And Holes Annihilation in an Inhomogeneous Semiconductor. Lecture notes in computer science, 9251, p.191-200, 2015). 7. Предложены стохастические проекционные методы для решения обратных задач рентгеновского анализа для определения профиля растущих эпитаксиальных пленок, проведена серия расчетов этим методом и предпринято сравнение с другими методами, в частности, с рандомизированным генетическим методом. Результаты работы оформлены в виде статьи, которая принята к печати и опубликована онлайн ("print ahead"): К. Sabelfeld, N. Mozartova. Stochastic algorithms for solving linear and nonlinear inverse ill-posed problems for particle size retrieving and x-ray diffraction analysis of epitaxial films. J. Inverse and Ill-posed problems. doi:10.1515/jiip-2015-0043, published online 17 July 2015. Один из предложенных вариантов стохастического метода оказался эффективным при решении обратной коэффициентной задачи для волновых уравнений на основе сведения к уравнению Гельфанда-Крейна-Левитана, и на этом примере удалось отработать общий оптимизационный принцип применения метода Монте-Карло к решению обратных задач такого типа. Работа опубликована совместно с группой специалистов по обратным задачам (S.I. Kabanikhin, K.K. Sabelfeld, N.S. Novikov, and M.A. Shishlenin. Numerical solution of the multidimensional Gelfand-Levitan equation. J. Inverse and Ill-posed problems. vol. 23 (2015), issue 5, 439-450). 8. Разработаны основы стохастического метода моделирования процесса роста нановискеров, проведены первые численные эксперименты. Результаты сравнения с нашей недавно предложенной эвристической стохастической моделью показали заметные различия, что позволило уточнить константы в эвристической модели. Прямой метод Монте-Карло, предложенный нами, использует идеи "first passgae time", то есть вероятностный подход, в котором долгий процесс диффузии по поверхности нановискеров заменяется на математически эквивалентный Марковский процесс, моделирование которого осуществляется фактически за один шаг - делается переход Марковского процесса по аналитически вычисленной переходной плотности вероятности. 9. Предложен чрезвычайно быстрый стохастический алгоритм для решения задач катодолюминесценции. Это другой вариант использования подхода "first passgae time", который мы назвали "survival probability technique", то есть подход, основанный на вероятности выживания, был нами использован при решении задачи о катодолюминесценции. Нами был предложен алгоритм блуждания по сферам и полусферам, который использует аналитическое выражение для вероятности выживания экситонов в данных простых областях. Это кардинально повышает эффективность моделирования диффузии экситонов, и позволяет решать задачи визуализации дислокаций в кристаллах за считанные минуты. Первые результаты работы опубликованы в трудах международной конференции: К. Сабельфельд. Стохастические модели и алгоритмы с приложениями в оптоэлектронике. Труды международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2015» , посвященной 90-летию со дня рождения академика Гурия Ивановича Марчука. Новосибирск, 2015, ISBN 978-5-9905347-2-8, с.657-663.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
В 2016 году получены следующие основные результаты. 1. Удалось разработать новый метод стохастического моделирования зарождения и роста нановискеров с учетом всех на сегодняшний день известных механизмов. В работе (Vladimir M. Kaganer, Sergio Fernandez-Garrido, Pinar Dogan, Karl K. Sabelfeld, and Oliver Brandt. Nucleation, growth and bundling of GaN nanowires in molecular beam epitaxy: Disentangling the origin of nanowire coalescence Nano Letters, 2016, 16, N6, 3717-3725), написанной совместно с группой немецких физиков из института твердотельной электроники им. П. Друде (PDI, Berlin), был исследован эффект коалесценции нановискеров (NW bundling) в процессе роста. В данной работе нами было предложено простое объяснение коалесценции нановискеров, основанное на принципе минимизации упругой энергии. Идея заключается в том, что два соседних нановискера, при достижении определенной критической длины, находятся в более выгодном состоянии, с точки зрения выигрыша поверхностной энергии за счет упругой энергии, если они коалесцируют, при этом критическая длина нановискера, при которой включается триггер слипания, зависит как от радиусов слипающихся нановискеров, так и расстояния между ними. Получена простая аналитическая формула для нахождения этой критической высоты, которой достигает нановискер меньшего размера из двух слипающихся нановискеров (формула (1) в этой работе). Учет коалесценции нановискеров заставляет пересмотреть всю картину формирования и роста, поскольку такие важные характеристики, как распределение по диаметрам, плотность нановискеров на подложке, и заполнение - все становятся переменными величинами, которые меняются с высотой и временем выращивания. Эти зависимости подробно изучаются в работе как экспериментально, так и с помощью компьютерного моделирования. В целом можно отметить, что данная работа должна послужить отправным толчком к более глубокому исследованию процесса выращивания нановискеров методом молекулярно-пучковой эпитаксии. 2. Для решения задачи моделирования роста нановискеров мы предложили в нашей работе (K.K. Sabelfeld, E.G. Kablukova, Stochastic simulation of nanowire growth in plasma-assisted molecular beam epitaxy. Computational Materials science, v. 125 (2016), 284–296.) стохастическую модель роста, и предприняли детальное исследование этого процесса с учетом полученной информации о коалесценции нановискеров. Моделирование, с одной стороны, подтвердило наши предположения о причинах выравнивания высот нановискеров, опубликованные ранее в нашей работе (K.K. Sabelfeld,V. M. Kaganer, F. Limbach, P. Dogan, O. Brandt, L. Geelhaar, H. Riechert. Height self-equilibration during the growth of dense nanowire ensembles: Order emerging from disorder. Appl. Phys. Lett. 103(22013), 133105), а с другой стороны, обнаружило другие интересные эффекты, в частности, закон самосохранения двумодального распределения по высотам и сужение этого распределения в условиях, когда плотность нановискеров на подложке не превышает определенной величины, и при этом распределение по диаметрам достаточно узкое. Отсюда сделан важный вывод о возможности выращивания ансамбля нановискеров с весьма узким распределением по высотам, и, более того, физики приступили к экспериментам по данным рекомендациям. Данная работа была так же представлена на конференции КРЕМНИЙ 2016 (Сабельфельд К.К. Стохастическое моделирование роста нановискеров. XI Конференция и X школа молодых ученых и специалистов по актуальным проблемам физики, материаловедения, технологии и диагностики кремния, нанометровых структур и приборов на его основе. КРЕМНИЙ 2016, 12-15 сентября 2016 г., Новосибирск). 3. Для дальнейшего анализа и усовершенствования разработанного нами кинетического метода моделирования процессов рекомбинации электронов и дырок при наличии дефектов, был предпринят сравнительный анализ двумерных и трехмерных моделей этих процессов, причем для контроля точности проводилась также реализация клеточно-автоматной модели. Эти исследования показали, каков характер пространственно-временных корреляций, что позволяет объяснять эволюцию феномена сегрегации в бимолекулярных реакциях. По данному направлению мы опубликовали несколько работ, в частности, Сабельфельд К.К., Киреева А.Е. Дискретное стохастическое моделирование рекомбинации электронов и дырок в 2D и 3D неоднородных полупроводниках. Прикладная дискретная математика, № 4 (34), 2016 г. , и работа в двух частях, принятая в печать в журнале "Автометрия": (1) Сабельфельд К.К., Киреева А.Е. Стохастическое моделирование рекомбинации электронов и дырок в 2D и 3D неоднородных полупроводниках, часть 1: стохастическая модель и алгоритмы. / Автометрия, 2017 г., и (2) Сабельфельд К.К., Киреева А.Е. Стохастическое моделирование рекомбинации электронов и дырок в 2D и 3D неоднородных полупроводниках, часть 2: результаты моделирования . / Автометрия, 2017 г. Данное направление исследований представлено также в главе 8 нашей монографии (K.K. Sabelfeld and N.A. Simonov. Stochastic methods for boundary value problems. Numerics for high-dimensional PDEs and applications. Walter de Gruyter, Berlin, 2016). Также, основы принципиально нового метода уже заложены в нашей работе (Karl K. Sabelfeld. Random walk on spheres method for solving drift-diffusion problems. Monte Carlo Methods Appl. 2016; 22 (4): 265–281). 4. По направлению катодолюминесцентной визуализации удалось решить ряд принципиальных проблем, как физических, так и математических. В результате совместных исследований, проведенных совместно с группой немецких физиков из Института твердотельной электроники, Берлин, удалось сформулировать задачу о расчете контраста катодолюминесценции на дислокациях в виде уравнения переноса экситонов с третьими граничными условиями, определяющими скорость рекомбинации на границе дислокации и поверхности кристалла. Решение такой задачи нашлось весьма изящное: в работах (Karl K. Sabelfeld. Splitting and survival probabilities in stochastic random walk methods and applications, Monte Carlo Methods Appl. 2016; 22 (1):55–72) и (Karl K. Sabelfeld, Random walk on semi-cylinders for diffusion problems with mixed Dirichlet-Robin boundary conditions. Monte Carlo Methods Appl. 2016; 22 (2): 117-131) была сформулирована и доказана теорема взаимности, сводящая исходную задачу с точечным источником экситонов к решению однородной задачи, но с модифицированными граничными условиями. Для модифицированных краевых задач в этих работах построен экономичный метод стохастического моделирования, позволяющий строить контрастные кривые для метода катодолюминесценции. Для экспериментаторов оказался данный подход интересен еще и тем, что позволяет, по контрастным кривым, определять диффузионную длину экситонов. Случай проникающих дислокаций подробно исследуется в нашей работе (Sabelfeld, K.K. A mesh free floating random walk method for solving diffusion imaging problems. Statistics and Probability Letters v.121 (2017), 6-11). Отметим, что предложенный подход, основанный на моделировании траекторий экситонов методом блуждания по сферам и цилиндрам, имеет целый ряд преимуществ перед традиционными методами: это высокая экономичность метода. Не менее важным является способность метода работать с геометриями, включающими дефекты и дислокации с весьма малыми размерами. В разностных методах это требует выбора сетки, которая измельчается по мере приближения к границам дефектов, что трудоемко как с точки зрения написания программ, так и с точки зрения времени вычислений. Особенно остро это проявляется при наличии сдвиговых внешних сил, когда приходится использовать уравнения диффузии-дрифта. В работе (K.K. Sabelfeld, Random walk on spheres method for solving drift-diffusion problems. Monte Carlo methods and applications, v.22 (2016), N4, 265-281) нам удалось построить обобщение алгоритма блуждания по сферам и для этого случая. Оказалось, что дрифтовый вектор порождает распределение на сфере, которое совпадает с распределением фон Мизеса-Фишера, известного в статистике. Удалось построить простой и весьма экономичный метод моделирования точек на сфере, выбираемых в соответствии с этим распределением. Отметим, что в алгоритмах метода Монте-Карло эта задача оставалась нерешенной с 80-х годов прошлого столетия. Интересно отметить, что разработанный метод применим и к случаю, когда внешний вектор сдвига меняется в пространстве. Это будет далее использоваться в запланированных совместных с физиками из Берлина работах по расчету контрастных кривых и визуализации дислокаций при наличии переменного потенциала вокруг дислокаций. В настоящее время отправлена в печать работа (Karl K. Sabelfeld, Vladimir M. Kaganer, Carsten Pfueller, Oliver Brandt. Dislocation contrast in cathodoluminescence and electron-beam induced current maps on GaN(0001), Phys. Rev. Applied. 2016, submitted), где проведен анализ экспериментальных данных с помощью разработанных математических методов. Еще одна трудность при решении задач катодолюминесценции - это наличие плоской части границы (подложка) с условием частичного отражения. В этом случае моделирование отражений впрямую оказывается трудоемким. Для решения данной проблемы предложена модификация алгоритма блуждания по сферам, которая существенно повышает его эффективность (Simonov N.A. Walk-on-spheres algorithm for solving third boundary value problem, Applied Mathematics Letters, v.64, 156-161). Результаты всех этих исследований представлены также в главе 7 нашей монографии (K.K. Sabelfeld and N.A. Simonov. Stochastic methods for boundary value problems. Numerics for high-dimensional PDEs and applications. Walter de Gruyter, Berlin, 2016). В данной монографии представлены стохастические алгоритмы, лежащие в основе всех методов моделирования, которые были нами развиты в рамках данного проекта РНФ.